Econométrie Appliquée

Code

makestars <- function(pvalues) {
    return(
        dplyr::case_when(
            pvalues < 0.001 ~ "$***$",
            pvalues < 0.05 ~ "$**$",
            pvalues < 0.1 ~ "$*$",
            .default = ""
        )
    )
}


gtgazer <- function(model, n_coef = 4, coefnames, description, title, bg_color) {
    if (class(model) %in% c("translogEst")) {
        coefficients <- summary(model)$coefTable[1:n_coef, 1]
        std_values <- summary(model)$coefTable[1:n_coef, 2]
        pvalues <- summary(model)$coefTable[1:n_coef, 4]
        signif <- makestars(pvalues)
        r2 <- round(summary(model)$r2, 3)
        adj_r2 <- round(summary(model)$r2bar, 3)
        n <- summary(model)$nObs
        dep_variable <- summary(model)$yName
    } else if (class(model) %in% c("quadFuncEst", "translogCostEst")) {
        coefficients <- summary(model$est)$coefficients[, 1]
        std_values <- summary(model$est)$coefficients[, 2]
        pvalues <- summary(model$est)$coefficients[, 4]
        signif <- makestars(pvalues)
        r2 <- round(model$r2, 3)
        adj_r2 <- round(model$r2bar, 3)
        n <- model$nObs
        dep_variable <- ifelse(class(model) == "quadFuncEst", model$yName, model$cName)
    }

    coefnames <- coefnames
    description <- description
    reg_results <- data.frame(cbind(coefnames, description, coefficients, std_values, pvalues, signif)) |>
        tibble() |>
        mutate(across(c(coefficients, std_values, pvalues), as.numeric))

    table <- reg_results |>
        gt(rowname_col = "coefnames") |>
        cols_label(
            description = md("**Description**"),
            coefficients = md("**Coefficients**"),
            std_values = md("**Ecart Type**"),
            pvalues = md("**Pvalues**"),
            signif = md("**Significativité**")
        ) |>
        fmt_markdown(columns = c(coefnames, signif, description)) |>
        fmt_number(columns = c(coefficients, pvalues), decimals = 3) |>
        fmt(columns = std_values, fns = function(std) {
            paste("+/-", round(std, 3))
        }) |>
        tab_footnote(footnote = md(sprintf("*Observations* : %s", n))) |>
        tab_footnote(footnote = md("***")) |>
        tab_footnote(footnote = md(glue::glue("$R^2=$ {r2}"))) |>
        tab_footnote(footnote = md(glue::glue("$R^2_{{adj}}=$ {adj_r2}"))) |>
        tab_header(
            title = md(title),
            subtitle = md(glue::glue("Variable dépendante : {dep_variable}"))
        ) |>
        tab_options(
            table.background.color = bg_color
        )

    return(table)
}

1 Imports et configuration

Note

Tout au long de ce projet, nous utiliserons l’approche tidy développée par Wickham (2014) plutôt que l’approche base R pour manipuler nos données.

library(ggplot2)
library(dplyr)
library(readxl)
library(micEcon)
library(gt)
library(tibble)
library(patchwork)
library(showtext)
library(FactoMineR)
library(factoextra)
library(ggtext)
library(micEconIndex)

2 Description des données

Le jeu de données appleProdFr86 utilisé dans le papier d’économétrie de Ivaldi et al. (1996) comprend des données transversales de production de 140 producteurs de pommes français datant de l’année 1986.

apples <- read_excel("data/appleProdFr86.xlsx")

Descriptif des colonnes

Colonnes	Description
vCap	Coûts associés au capital (foncier compris).
vLab	Coûts associés au travail (y compris la rémunération du travail familial non rémunéré).
vMat	Coûts des matières intermédiaires (plantations, engrais, pesticides, carburant, etc).
qApples	Indice de quantité des pommes produites.
qOtherOut	Indice de quantité de tous les autres outputs.
qOut	Indice de quantité de toute la production \(\Rightarrow 580000 \cdot (\text{qApples} + \text{qOtherOut})\)
pCap	Indice des prix du capital.
pLab	Indice des prix du travail.
pMat	Indice des prix des matières intermédiaires.
pOut	Indice des prix de la production globale.
adv	Distingue les producteurs qui sont conseillés par des laboratoires d’agronomie.

2.1 Tableau descriptif

Ce tableau descriptif retrace les 10 premières observations et l’ensemble des variables associées dans le dataset.

Producteurs de pommes 🍎
140 producteurs 🇫🇷 (1986)
\(N\)	Costs			Quantity Index			Price Index				\(adv\)	Factor Quantities
	\(v_{Cap}\)	\(v_{Lab}\)	\(v_{Mat}\)	\(q_{Apples}\)	\(q_{OtherOut}\)	\(q_{Out}\)	\(p_{Cap}\)	\(p_{Lab}\)	\(p_{Mat}\)	\(p_{Out}\)		\(q_{Cap}\)	\(q_{Lab}\)	\(q_{Mat}\)
1	220K	320K	300K	1.4	0.98	1.4M	2.6	0.90	8.9	0.66		84K	360K	34K
2	130K	190K	260K	0.86	1.1	1.1M	3.3	0.75	6.4	0.72		40K	250K	41K
3	81K	130K	91K	3.3	0.40	2.2M	2.2	0.96	3.7	0.94		37K	140K	24K
4	34K	110K	60K	0.44	0.44	510K	1.6	1.3	3.2	0.60		21K	83K	19K
5	39K	84K	100K	1.8	0.015	1.1M	0.87	0.94	7.2	0.83		45K	89K	14K
6	120K	520K	580K	8.5	0.43	5.2M	1.0	0.96	9.6	1.4		120K	550K	60K
7	89K	170K	340K	4.1	3.3	4.3M	0.98	1.0	7.8	1.3		91K	170K	44K
8	92K	200K	130K	2.2	1.1	1.9M	1.0	0.92	5.0	0.62		89K	220K	25K
9	66K	180K	190K	1.8	2.6	2.5M	2.5	1.0	5.6	1.9		27K	180K	34K
10	94K	140K	82K	1.6	0.45	1.2M	0.98	0.64	5.6	0.49		95K	220K	15K
Source: Ivaldi et al. (1996)

3 Statistiques descriptives

3.1 Productivité moyenne des facteurs de production

La productivité moyenne (\(AP =\) Average Product) consiste à diviser la quantité totale d’output par la quantité totale de facteur utilisé (input) dans le processus de production.

Imaginons que les unités d’output sont des tonnes. Pour chaque input, cela revient en fait à expliquer combien de tonnes sont produites par unité de capital, de travail et de matières intermédiaires en 1986 pour chaque producteur de pommes.

Nous obtenons alors respectivement :

• \(AP_{Cap} = \frac{q_{Out}}{q_{Cap}}\)

• \(AP_{Lab} = \frac{q_{Out}}{q_{Lab}}\)

• \(AP_{Mat} = \frac{q_{Out}}{q_{Mat}}\)

apples <- apples |> mutate(
    AP_Cap = qOut / qCap,
    AP_Lab = qOut / qLab,
    AP_Mat = qOut / qMat
)

Productivité Moyenne par Facteur 📋
Capital — Travail — Matériaux
	\(\min\)	\(\mu\)	\(\max\)	\(\sigma^2\)
\(AP_{Cap}\)	1.45	32.64	152.87	29.25
\(AP_{Lab}\)	0.86	10.21	25.63	6.20
\(AP_{Mat}\)	8.22	90.64	301.43	60.43

Ce tableau, en plus des visualisations qui vont suivre, permet d’établir que les productivités moyennes par facteur sont très différentes selon les producteurs. De plus, on s’aperçoit aussi qu’investir dans un facteur particulier peut être plus intéressant qu’un autre.

C’est particulièrement vrai pour le facteur Mat avec une productivité moyenne minimale de 8.22 unités d’output pour une unité de matériaux et jusqu’à 301.43 unités d’output pour une unité de matériaux.

3.2 Corrélations entre les quantités des 3 facteurs de production

Matrice de corrélation
	\(q_{Cap}\)	\(q_{Lab}\)	\(q_{Mat}\)
\(q_{Cap}\)	1.00	0.59	0.66
\(q_{Lab}\)	0.59	1.00	0.79
\(q_{Mat}\)	0.66	0.79	1.00

• Les quantités des 3 facteurs de production sont toutes corrélées positivement.

• On s’aperçoit que la corrélation positive la plus importante est entre \(q_{Lab}\) et \(q_{Mat}\) \(\Rightarrow\) cela implique que lorsque la quantité de travail augmente, la quantité de matériaux a tendance à augmenter dans un niveau très similaire, et vice versa.

3.3 Corrélations entre les productivités moyennes

Essayons maintenant de comprendre comment les productivités moyennes individuelles sont corrélées :

Matrice de corrélation
	\(AP_{Cap}\)	\(AP_{Lab}\)	\(AP_{Mat}\)
\(AP_{Cap}\)	1.00	0.51	0.46
\(AP_{Lab}\)	0.51	1.00	0.73
\(AP_{Mat}\)	0.46	0.73	1.00

• Ces résultats nous suggèrent l’existence de relations positives entre les productivités moyennes des différents facteurs de production dans le processus de production.

• Ici, une augmentation de la productivité moyenne du travail peut être associée à une augmentation significative de la productivité moyenne des matériaux, ce qui peut être dû à des facteurs tels que des processus de production plus efficaces ou une meilleure utilisation des ressources de la part du producteur de pommes.

---

Note

Les représentations des productivités moyennes \(AP_{Cap}\), \(AP_{Lab}\) et \(AP_{Mat}\) par rapport à l’output \(q_{Out}\) peuvent aussi être très utiles pour comprendre les relations entre la production totale et l’utilisation des différents facteurs de production.

• Les valeurs extrêmes dans ces nuages de points nous permettent de distinguer aisément les producteurs efficaces et inefficaces dans l’utilisation des ressources.

3.4 Indices de Paasche, Laspeyres et Fisher

Les productivités moyennes nous donnent une indication facteur par facteur, mais elles ne nous donnent pas nécessairement d’information globale. Dans ce cadre, on peut alors se demander comment agréger des quantités avec une règle ad hoc en un indice synthétique.

3 Indices principaux existent

Indice de Paasche

\[ \text{Paasche}_{index} = \frac{(v_{Cap} + v_{Lab} + v_{Mat})}{{\bar{q}_{Cap}}\cdot p_{Cap} + \bar{q}_{Lab}\cdot p_{Lab} + \bar{q}_{Mat} \cdot p_{Mat}} \]

Indice de Laspeyres

\[ \text{Laspeyres}_{index} = \frac{(q_{Cap} \cdot \bar{p}_{Cap} + q_{Lab} \cdot \bar{p}_{Lab} + q_{Mat} \cdot \bar{p}_{Mat})}{(\bar{q}_{Cap}\cdot \bar{p}_{Cap}+\bar{q}_{Lab}\cdot \bar{p}_{Lab}+\bar{q}_{Mat}\cdot \bar{p}_{Mat})} \]

Indice de Fisher

\[ \text{Fisher}_{index} = \sqrt{\text{Paasche}_{index} \cdot \text{Laspeyres}_{index}} \]

De plus, la fonction quantityIndex du package micEconIndex a l’intérêt de facilement intégrer les calculs de chaque indice (Voir ci-dessous).

apples <- apples |> mutate(
    L_Index = quantityIndex(
        prices = c("pCap", "pLab", "pMat"),
        quantities = c("qCap", "qLab", "qMat"),
        data = apples,
        method = "Laspeyres"
    ),
    P_Index = quantityIndex(
        prices = c("pCap", "pLab", "pMat"),
        quantities = c("qCap", "qLab", "qMat"),
        data = apples,
        method = "Paasche"
    ),
    F_Index = quantityIndex(
        prices = c("pCap", "pLab", "pMat"),
        quantities = c("qCap", "qLab", "qMat"),
        data = apples,
        method = "Fisher"
    )
)

`geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

---

Matrice de corrélation
	\(AP_{Cap}\)	\(AP_{Lab}\)	\(AP_{Mat}\)	\(\text{Fisher}_{index}\)
\(AP_{Cap}\)	1.00	0.51	0.46	0.11
\(AP_{Lab}\)	0.51	1.00	0.73	0.36
\(AP_{Mat}\)	0.46	0.73	1.00	0.23
\(\text{Fisher}_{index}\)	0.11	0.36	0.23	1.00

• Ces résultats suggèrent que l’indice de Fisher n’est pas fortement corrélé avec les productivités moyennes individuelles des facteurs de production.

3.5 Indice de productivité globale des facteurs

• Dans la section précédente, nous avons montré que les indices donnaient sensiblement les mêmes résultats. Nous avons néanmoins choisi en tant qu’indice de productivité globale des facteurs l’indice de Fisher, étant donné qu’il est une moyenne géométrique de l’indice de Paasche et de celui de Laspeyres.

• De manière intéressante, contrairement aux histogrammes des productivités moyennes de la Section 3.1, la plupart des valeurs que prend l’indice de Fisher sont plus concentrées.

Note

La variable dichotomique adv présente dans notre dataset est définie par :

\[ adv = \begin{cases} 0 \text{ si le producteur n'est pas conseillé}\\ 1 \text{ si le producteur est conseillé} \end{cases} \]

On pourrait penser que les producteurs qui ont été conseillés par des laboratoires d’agronomie ont un indice de productivité globale plus important que ceux qui ne l’ont pas été.

Vérifions-le graphiquement et statistiquement

• En moyenne, il semble ne pas y avoir de différence de productivité globale lorsque le producteur est conseillé. La productivité moyenne avec conseil est 0.95 et la productivité moyenne sans conseil est quant à elle 1.

On peut aussi s’assurer que les moyennes sont significativement différentes en faisant un test de Student bilatéral :

\[ \begin{cases} H_0:\mu_{advice} =\mu_{no\_advice}\\ H_1:\mu_{advice} \neq\mu_{no\_advice} \end{cases} \]

\(\Rightarrow\) Au risque \(\alpha = 5\%\), la \(p-value =\) 0.64 \(> 0.05\), on conserve donc l’hypothèse nulle \(H_0\).

4 Analyse exploratoire

• Axe 1 \(\Rightarrow\) Combinaison de variables : synthéthise les indices de Fisher, Paasche et Laspeyres, ainsi que les quantités et les coûts des 3 facteurs de production.

• Axe 2 \(\Rightarrow\) Productivités moyennes.

TODO : Customiser les couleurs de contributions et des inerties et tout

Le test de normalité confirme statistiquement le fait que les données log(qOut) suivent une distribution normale (p.value > 0.05)

Code

shapiro.test(log(apples$qOut))

    Shapiro-Wilk normality test

data:  log(apples$qOut)
W = 0.98429, p-value = 0.1094

5 Fonction de production linéaire

Forme de la fonction

\[ q_i = \alpha + \sum_{k=1}^3\beta_k x_{ik} + ε_i \]

• La fonction de production linéaire dans notre cas s’écrit donc sous la forme :

\[ q_{Out} = \alpha + \beta_1 q_{Cap} + \beta_2 q_{Lab} + \beta_3 q_{Mat} + ε_i \]

On a pu constater un lien indéniable entre la quantité produite (qOut) et les productivités moyennes. On peut alors légitimement penser qu’il y a une relation entre la quantité produite et les quantités des facteurs de production. On peut effectuer une régression linéaire pour observer cette relation.

La relation linéaire est significative entre qOut et les variables explicatives qMat et qLab. Le \(R^2\), supérieur à 0.78, démontre la bonne qualité de la régression. De ce modèle on peut dire que la quantité produite dépend principalement de la quanité de travail et de matière première engagé.

Code

linreg_prod <- lm(qOut ~ qMat + qLab + qCap, data = apples)
stargazer::stargazer(linreg_prod, type = "text")

===============================================
                        Dependent variable:    
                    ---------------------------
                               qOut            
-----------------------------------------------
qMat                         46.668***         
                             (11.234)          
                                               
qLab                         11.831***         
                              (1.272)          
                                               
qCap                           1.788           
                              (1.995)          
                                               
Constant                 -1,615,979.000***     
                           (231,771.700)       
                                               
-----------------------------------------------
Observations                    140            
R2                             0.787           
Adjusted R2                    0.782           
Residual Std. Error  1,540,737.000 (df = 136)  
F Statistic          167.318*** (df = 3; 136)  
===============================================
Note:               *p<0.1; **p<0.05; ***p<0.01

TODO : Vérifier les résidus

Code

# gtgazer(
#    linreg_prod,
#    n_coef = 4,
#    coefnames = c("$A$", "$\\alpha$", "$\\beta$", "$\\gamma$"),
#    description = c(
#        "- Constante du modèle",
#        "- Coefficient associé à la variable `qCap`",
#        "- Coefficient associé à la variable `qLab`",
#        "- Coefficient associé à la variable `qMat`"
#    ),
#    title = "**Fonction de production linéaire**",
#    bg_color = bg_color
# )

6 Fonction Cobb-Douglas

Forme de la fonction

\[ q_i = A \prod_{k=1}^3 x_{ik}^{a_k}ε_i \]

• La fonction de production Cobb-Douglas dans notre cas s’écrit donc sous la forme :

\[ q_{Out} = A\cdot q_{Cap}^\alpha \cdot q_{Lab}^\beta \cdot q_{Mat}^\gamma \cdot ε_i \]

Dans le cadre de cette étude comparative, nous avons 3 inputs :

• qCap \(\Rightarrow\) la quantité de capital
• qLab \(\Rightarrow\) la quantité de travail
• qMat \(\Rightarrow\) la quantité de matériaux

Nous obtenons donc la forme suivante :

Avec \(A, \alpha, \beta, \gamma \Rightarrow\) 4 paramètres à estimer.

On peut facilement linéariser la fonction, dès lors on obtient :

\[ \ln(q_{out}) = \ln(A) + \alpha \cdot \ln(q_{Cap}) + \beta \cdot \ln(q_{Lab}) + \gamma \cdot \ln(q_{Mat}) + \ln{(ε_i)} \]

Allen Elasticity of Substitution (AES)

\(\sigma_{\{\text{qCap, qLab, qMat}\}} = 1\)

Rappel : Si la fonction de production est Cobb-Douglas, alors on a normalement \(\hat\alpha + \hat\beta + \hat\gamma = 1\)

On peut tester cette hypothèse :

\[ \begin{cases} H_0 : \alpha + \beta + \gamma = 1\\ H_1 : \alpha + \beta + \gamma \neq 1\\ \end{cases} \]

Code

# Estime une fonction de production Cobb Douglas avec l'argument linear
cd_prod <- translogEst(
    "qOut",
    c("qCap", "qLab", "qMat"),
    apples,
    linear = TRUE
)

# elasticities(cd_prod)
# elasticities(quad_prod)

Code

gtgazer(
    cd_prod,
    n_coef = 4,
    coefnames = c("$A$", "$\\alpha$", "$\\beta$", "$\\gamma$"),
    description = c(
        "- Constante du modèle",
        "- Coefficient associé à la variable `qCap`",
        "- Coefficient associé à la variable `qLab`",
        "- Coefficient associé à la variable `qMat`"
    ),
    title = "**Fonction de production Cobb-Douglas**",
    bg_color = bg_color
)

Fonction de production Cobb-Douglas
Variable dépendante : qOut
	Description	Coefficients	Ecart Type	Pvalues	Significativité
\(A\)	Constante du modèle	−2.064	+/- 1.313	0.118
\(\alpha\)	Coefficient associé à la variable qCap	0.163	+/- 0.087	0.064	\(*\)
\(\beta\)	Coefficient associé à la variable qLab	0.676	+/- 0.154	0.000	\(***\)
\(\gamma\)	Coefficient associé à la variable qMat	0.627	+/- 0.126	0.000	\(***\)
Observations : 140
\(R^2=\) 0.594
\(R^2_{adj}=\) 0.585

Code

summary(cd_prod$est)

Call:
lm(formula = as.formula(estFormula), data = estData)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1.67239 -0.28024  0.00667  0.47834  1.30115 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -2.06377    1.31259  -1.572   0.1182    
a_1          0.16303    0.08721   1.869   0.0637 .  
a_2          0.67622    0.15430   4.383 2.33e-05 ***
a_3          0.62720    0.12587   4.983 1.87e-06 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.656 on 136 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.5943,    Adjusted R-squared:  0.5854 
F-statistic: 66.41 on 3 and 136 DF,  p-value: < 2.2e-16

7 Fonction de production quadratique

Forme de la fonction

\[ q_i = \alpha + \sum_{k=1}^3\beta_k x_{ik} + \frac{1}{2}\sum_{l=1}^3\sum_{k=1}^3 \beta_{kl}x_{ik}x_{il} + ε_i \]

\[ \begin{gathered}q_{Out}​=α+β_1​q_{Cap}​+β_2​q_{Lab}​+β_3​q_{Mat}\\ ​+\frac{1}{2}​(β_{11}​q^2_{Cap}​+β_{22}​q^2_{Lab}​+β_{33}​q^2_{Mat})\\ ​+\frac{1}{2}​(2β_{12}​q_{Cap}​q_{Lab}​+2β_{13}​q_{Cap}​q_{Mat}​+2β_{23}​q_{Lab}​q_{Mat}​)+ε_i​ \end{gathered} \]

• \(3^2 = 9\) coefficients à estimer !

Code

quad_prod <- quadFuncEst(
    "qOut",
    c("qCap", "qLab", "qMat"),
    apples
)

Code

gtgazer(
    quad_prod,
    n_coef = 9,
    coefnames = c("$A$", "$\\beta_1$", "$\\beta_2$", "$\\beta_3$", "$\\beta_{11}$", "$\\beta_{12}$", "$\\beta_{13}$", "$\\beta_{22}$", "$\\beta_{23}$", "$\\beta_{33}$"),
    description = c(
        "- Constante du modèle",
        "- Coefficient associé à la variable `qCap`",
        "- Coefficient associé à la variable `qLab`",
        "- Coefficient associé à la variable `qMat`",
        "- Coefficient associé à la variable `qCap²`",
        "- Coefficient associé à la variable `qCap×qLab`",
        "- Coefficient associé à la variable `qCap×qMat`",
        "- Coefficient associé à la variable `qLab²`",
        "- Coefficient associé à la variable `qLab×qMat`",
        "- Coefficient associé à la variable `qMat²`"
    ),
    title = "**Fonction de production quadratique**",
    bg_color = bg_color
)

Fonction de production quadratique
Variable dépendante : qOut
	Description	Coefficients	Ecart Type	Pvalues	Significativité
\(A\)	Constante du modèle	−291,113.132	+/- 361461.083	0.422
\(\beta_1\)	Coefficient associé à la variable qCap	5.270	+/- 4.403	0.234
\(\beta_2\)	Coefficient associé à la variable qLab	6.077	+/- 3.185	0.059	\(*\)
\(\beta_3\)	Coefficient associé à la variable qMat	14.303	+/- 24.057	0.553
\(\beta_{11}\)	Coefficient associé à la variable qCap²	0.000	+/- 0	0.176
\(\beta_{12}\)	Coefficient associé à la variable qCap×qLab	0.000	+/- 0	0.041	\(**\)
\(\beta_{13}\)	Coefficient associé à la variable qCap×qMat	0.000	+/- 0	0.778
\(\beta_{22}\)	Coefficient associé à la variable qLab²	0.000	+/- 0	0.141
\(\beta_{23}\)	Coefficient associé à la variable qLab×qMat	0.000	+/- 0	0.000	\(***\)
\(\beta_{33}\)	Coefficient associé à la variable qMat²	−0.002	+/- 0.001	0.036	\(**\)
Observations : 140
\(R^2=\) 0.845
\(R^2_{adj}=\) 0.834

Code

summary(quad_prod$est)

Call:
lm(formula = as.formula(estFormula), data = estData)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-3928802  -695518  -186123   545509  4474143 

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -2.911e+05  3.615e+05  -0.805 0.422072    
a_1          5.270e+00  4.403e+00   1.197 0.233532    
a_2          6.077e+00  3.185e+00   1.908 0.058581 .  
a_3          1.430e+01  2.406e+01   0.595 0.553168    
b_1_1        5.032e-05  3.699e-05   1.360 0.176039    
b_1_2       -3.097e-05  1.498e-05  -2.067 0.040763 *  
b_1_3       -4.160e-05  1.474e-04  -0.282 0.778206    
b_2_2       -3.084e-05  2.081e-05  -1.482 0.140671    
b_2_3        4.011e-04  1.112e-04   3.608 0.000439 ***
b_3_3       -1.896e-03  8.951e-04  -2.118 0.036106 *  
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 1344000 on 130 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.8449,    Adjusted R-squared:  0.8342 
F-statistic: 78.68 on 9 and 130 DF,  p-value: < 2.2e-16

8 Fonction de production Translog

Forme de la fonction

\[ \begin{gathered} ln(q_i) = \alpha + \sum_{k=1}^3\beta_kln(x_{ik}) \\ + \frac{1}{2}\sum_{l=1}^3\sum_{k=1}^3 \beta_{kl}ln(x_{ik})ln(x_{il}) + ε_i \end{gathered} \]

Code

translog_prod <- translogEst(
    "qOut",
    c("qCap", "qLab", "qMat"),
    apples
)

Code

summary(translog_prod)

Estimated Translog function with 140 observations.
       Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
a_0   -4.145812  21.359450 -0.1941  0.84640  
a_1   -2.306835   2.288291 -1.0081  0.31528  
a_2    1.993284   4.566243  0.4365  0.66318  
a_3    2.231700   3.763344  0.5930  0.55420  
b_1_1 -0.025734   0.208339 -0.1235  0.90189  
b_1_2  0.561944   0.291199  1.9298  0.05582 .
b_1_3 -0.409965   0.235342 -1.7420  0.08387 .
b_2_2 -1.163639   0.679429 -1.7127  0.08916 .
b_2_3  0.657928   0.427502  1.5390  0.12623  
b_3_3 -0.503680   0.434983 -1.1579  0.24902  
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
R-squared: 0.6295696     Adjusted R-squared: 0.6039244 

Code

gtgazer(
    translog_prod,
    n_coef = 9,
    coefnames = c("$A$", "$\\beta_1$", "$\\beta_2$", "$\\beta_3$", "$\\beta_{11}$", "$\\beta_{12}$", "$\\beta_{13}$", "$\\beta_{22}$", "$\\beta_{23}$", "$\\beta_{33}$"),
    description = c(
        "- Constante du modèle",
        "- Coefficient associé à la variable `qCap`",
        "- Coefficient associé à la variable `qLab`",
        "- Coefficient associé à la variable `qMat`",
        "- Coefficient associé à la variable `qCap²`",
        "- Coefficient associé à la variable `qCap×qLab`",
        "- Coefficient associé à la variable `qCap×qMat`",
        "- Coefficient associé à la variable `qLab²`",
        "- Coefficient associé à la variable `qLab×qMat`",
        "- Coefficient associé à la variable `qMat²`"
    ),
    title = "**Fonction de production Translog**",
    bg_color = bg_color
)

Warning in cbind(coefnames, description, coefficients, std_values, pvalues, :
number of rows of result is not a multiple of vector length (arg 3)

Fonction de production Translog
Variable dépendante : qOut
	Description	Coefficients	Ecart Type	Pvalues	Significativité
\(A\)	Constante du modèle	−4.146	+/- 21.359	0.846
\(\beta_1\)	Coefficient associé à la variable qCap	−2.307	+/- 2.288	0.315
\(\beta_2\)	Coefficient associé à la variable qLab	1.993	+/- 4.566	0.663
\(\beta_3\)	Coefficient associé à la variable qMat	2.232	+/- 3.763	0.554
\(\beta_{11}\)	Coefficient associé à la variable qCap²	−0.026	+/- 0.208	0.902
\(\beta_{12}\)	Coefficient associé à la variable qCap×qLab	0.562	+/- 0.291	0.056	\(*\)
\(\beta_{13}\)	Coefficient associé à la variable qCap×qMat	−0.410	+/- 0.235	0.084	\(*\)
\(\beta_{22}\)	Coefficient associé à la variable qLab²	−1.164	+/- 0.679	0.089	\(*\)
\(\beta_{23}\)	Coefficient associé à la variable qLab×qMat	0.658	+/- 0.428	0.126
\(\beta_{33}\)	Coefficient associé à la variable qMat²	−4.146	+/- 21.359	0.846
Observations : 140
\(R^2=\) 0.63
\(R^2_{adj}=\) 0.604

9 Fonction de coût Cobb Douglass

Forme de la fonction

\[ c_i = A \prod_{k=1}^{3} p_{ik}^{\alpha_k}q_i^{\alpha_y} \epsilon_i \]

Code

apples$cost <- apples$vCap + apples$vLab + apples$vMat

Code

cobb_cost <- translogCostEst(
    cName = "cost",
    yName = "qOut",
    pName = c("pCap", "pLab", "pMat"),
    apples, homPrice = FALSE,
    linear = TRUE
)

Code

summary(cobb_cost$est)

Call:
lm(formula = as.formula(estFormula), data = estData)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.77663 -0.23243 -0.00031  0.24439  0.74339 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  6.75383    0.40673  16.605  < 2e-16 ***
a_1          0.37341    0.03072  12.154  < 2e-16 ***
a_2          0.07437    0.04878   1.525  0.12969    
a_3          0.46486    0.14694   3.164  0.00193 ** 
a_4          0.48642    0.08112   5.996 1.74e-08 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.3395 on 135 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.6884,    Adjusted R-squared:  0.6792 
F-statistic: 74.56 on 4 and 135 DF,  p-value: < 2.2e-16

Code

gtgazer(
    cobb_cost,
    n_coef = 4,
    coefnames = c("$A$", "$\\alpha_1$", "$\\alpha_2$", "$\\alpha_3$", "$\\alpha_4$"),
    description = c(
        "- Constante du modèle",
        "- Coefficient associé à la variable `qOut`",
        "- Coefficient associé à la variable `pCap`",
        "- Coefficient associé à la variable `pLab`",
        "- Coefficient associé à la variable `pMat`"
    ),
    title = "**Fonction de coût Cobb Douglass**",
    bg_color = bg_color
)

Fonction de coût Cobb Douglass
Variable dépendante : cost
	Description	Coefficients	Ecart Type	Pvalues	Significativité
\(A\)	Constante du modèle	6.754	+/- 0.407	0.000	\(***\)
\(\alpha_1\)	Coefficient associé à la variable qOut	0.373	+/- 0.031	0.000	\(***\)
\(\alpha_2\)	Coefficient associé à la variable pCap	0.074	+/- 0.049	0.130
\(\alpha_3\)	Coefficient associé à la variable pLab	0.465	+/- 0.147	0.002	\(**\)
\(\alpha_4\)	Coefficient associé à la variable pMat	0.486	+/- 0.081	0.000	\(***\)
Observations : 140
\(R^2=\) 0.688
\(R^2_{adj}=\) 0.679

10 Fonction de coût Cobb Douglass de court terme

Forme de la fonction

\[ c_i = A x_{i3}^{\alpha_3}\prod_{k=1}^{2} p_{ik}^{\alpha_k}q_i^{\alpha_y} \epsilon_i \]

Code

cobb_cost_ct <- translogCostEst(
    cName = "cost",
    yName = "qOut",
    pName = c("pLab", "pMat"),
    fNames = "pCap",
    apples, homPrice = FALSE,
    linear = TRUE
)

Code

summary(cobb_cost_ct$est)

Call:
lm(formula = as.formula(estFormula), data = estData)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.77663 -0.23243 -0.00031  0.24439  0.74339 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  6.75383    0.40673  16.605  < 2e-16 ***
a_1          0.37341    0.03072  12.154  < 2e-16 ***
a_2          0.46486    0.14694   3.164  0.00193 ** 
a_3          0.48642    0.08112   5.996 1.74e-08 ***
a_4          0.07437    0.04878   1.525  0.12969    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.3395 on 135 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.6884,    Adjusted R-squared:  0.6792 
F-statistic: 74.56 on 4 and 135 DF,  p-value: < 2.2e-16

Code

gtgazer(
    cobb_cost_ct,
    n_coef = 4,
    coefnames = c("$A$", "$\\alpha_1$", "$\\alpha_2$", "$\\alpha_3$", "$\\alpha_4$"),
    description = c(
        "- Constante du modèle",
        "- Coefficient associé à la variable `qOut`",
        "- Coefficient associé à la variable `pCap`",
        "- Coefficient associé à la variable `pLab`",
        "- Coefficient associé à la variable `pMat`"
    ),
    title = "**Fonction de coût Cobb Douglass de court terme**",
    bg_color = bg_color
)

Fonction de coût Cobb Douglass de court terme
Variable dépendante : cost
	Description	Coefficients	Ecart Type	Pvalues	Significativité
\(A\)	Constante du modèle	6.754	+/- 0.407	0.000	\(***\)
\(\alpha_1\)	Coefficient associé à la variable qOut	0.373	+/- 0.031	0.000	\(***\)
\(\alpha_2\)	Coefficient associé à la variable pCap	0.465	+/- 0.147	0.002	\(**\)
\(\alpha_3\)	Coefficient associé à la variable pLab	0.486	+/- 0.081	0.000	\(***\)
\(\alpha_4\)	Coefficient associé à la variable pMat	0.074	+/- 0.049	0.130
Observations : 140
\(R^2=\) 0.688
\(R^2_{adj}=\) 0.679

11 Fonction de coût Translog

Forme de la fonction

\[ \begin{gathered}ln(c_i) = \alpha + \sum_{k=1}^3 \beta_k ln(p_{ik}) + \alpha_qln(q_i) \\ +\frac{1}{2}\sum_{l=1}^3\sum_{k=1}^3\beta_{kl}ln(p_{ik})ln(p_{il})\frac{1}{2}\alpha_{q}(ln(q_i))^2 \\ +\frac{1}{2}\sum_{k=1}^3\alpha_{kq}ln(p_{ik})ln(q_i)+\epsilon_i \end{gathered} \]

Code

translog_cost <- translogCostEst(
    cName = "cost",
    yName = "qOut",
    pName = c("pCap", "pLab", "pMat"),
    apples, homPrice = FALSE
)

Code

summary(translog_cost$est)

Call:
lm(formula = as.formula(estFormula), data = estData)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.73251 -0.18718  0.02001  0.15447  0.82858 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 25.383429   3.511353   7.229 4.26e-11 ***
a_1         -2.040079   0.510905  -3.993 0.000111 ***
a_2          0.198813   0.537885   0.370 0.712291    
a_3         -0.024792   2.232126  -0.011 0.991156    
a_4         -1.244914   1.201129  -1.036 0.301992    
b_1_1        0.164075   0.041078   3.994 0.000110 ***
b_1_2       -0.028090   0.042844  -0.656 0.513259    
b_1_3        0.007533   0.171134   0.044 0.964959    
b_1_4        0.048794   0.092266   0.529 0.597849    
b_2_2       -0.095173   0.105158  -0.905 0.367182    
b_2_3       -0.746199   0.244445  -3.053 0.002772 ** 
b_2_4        0.182268   0.130463   1.397 0.164865    
b_3_3       -0.503168   0.943390  -0.533 0.594730    
b_3_4        0.139429   0.433408   0.322 0.748215    
b_4_4        0.529021   0.337680   1.567 0.119728    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.3043 on 125 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7682,    Adjusted R-squared:  0.7423 
F-statistic: 29.59 on 14 and 125 DF,  p-value: < 2.2e-16

Code

gtgazer(
    translog_cost,
    n_coef = 9,
    coefnames = c("$A$"),
    description = c(
        "- Constante du modèle"
    ),
    title = "**Fonction de coût Translog**",
    bg_color = bg_color
)

Fonction de coût Translog
Variable dépendante : cost
	Description	Coefficients	Ecart Type	Pvalues	Significativité
\(A\)	Constante du modèle	25.383	+/- 3.511	0.000	\(***\)
\(A\)	Constante du modèle	−2.040	+/- 0.511	0.000	\(***\)
\(A\)	Constante du modèle	0.199	+/- 0.538	0.712
\(A\)	Constante du modèle	−0.025	+/- 2.232	0.991
\(A\)	Constante du modèle	−1.245	+/- 1.201	0.302
\(A\)	Constante du modèle	0.164	+/- 0.041	0.000	\(***\)
\(A\)	Constante du modèle	−0.028	+/- 0.043	0.513
\(A\)	Constante du modèle	0.008	+/- 0.171	0.965
\(A\)	Constante du modèle	0.049	+/- 0.092	0.598
\(A\)	Constante du modèle	−0.095	+/- 0.105	0.367
\(A\)	Constante du modèle	−0.746	+/- 0.244	0.003	\(**\)
\(A\)	Constante du modèle	0.182	+/- 0.13	0.165
\(A\)	Constante du modèle	−0.503	+/- 0.943	0.595
\(A\)	Constante du modèle	0.139	+/- 0.433	0.748
\(A\)	Constante du modèle	0.529	+/- 0.338	0.120
Observations : 140
\(R^2=\) 0.768
\(R^2_{adj}=\) 0.742

12 Others

Code

apples <- apples |> mutate(cost = vCap + vLab + vMat)

• Avec la fonction de cout on trouve 2.7 – à vérifier

\(\Rightarrow\) Estimer des fonctions de cout, les rendements d’échelle, estimer la fonction CES, la leontieff généralisée, calculer le profit des producteurs, lien entre efficacité, optimalité, vérifier hétéroscédasticité, modèles SFA et DEA potentiellement.

La translog ayant bcp plus de paramètres, ce ne sera pas forcément la bonne forme fonctionnelle !

Etudier les substitutions entre les facteurs ? Comment faire ? Car la Cobb Douglas ne permet pas de le faire.

Code

cobbDouglasCalc(c("qCap", "qLab", "qMat"), apples, coef(cd_prod)[1:4], coefCov = NULL, dataLogged = FALSE)

         1          2          3          4          5          6          7 
 3211442.9  2484348.9  1198934.2   659255.2   657608.3  6440150.6  2289560.6 
         8          9         10         11         12         13         14 
 1941829.7  1643085.0  1393628.8  1065518.4  2532062.5  1142644.8  1990393.7 
        15         16         17         18         19         20         21 
 1804586.9  2486696.5   623801.8  4674844.6   652055.8  1602756.5  3585652.8 
        22         23         24         25         26         27         28 
 3105133.1  1962299.4  1894850.1  1730990.1  2028057.2  1236923.3  3120162.0 
        29         30         31         32         33         34         35 
  857551.9  1283936.8  1591240.6  1112374.7  1104836.2  1990082.5  2286930.2 
        36         37         38         39         40         41         42 
 1050671.7   670978.8   385308.3   617220.9   947210.5  1523069.4  1590208.7 
        43         44         45         46         47         48         49 
 1152166.4   874268.3   856786.7  1501912.2   812992.3  1433944.5  1169689.9 
        50         51         52         53         54         55         56 
  761120.5   655665.9   737223.4   623412.9   541717.9  1239529.1  1182383.1 
        57         58         59         60         61         62         63 
 1401808.7   628116.7   507950.3  2747396.1   539581.5  1055087.5  3550349.5 
        64         65         66         67         68         69         70 
  935872.0  1410581.5  5799225.5  4578344.7  2308627.1  5785802.2  8756920.8 
        71         72         73         74         75         76         77 
  936486.7   859620.4   940655.3   461623.9   848543.7  2309804.2  1241075.8 
        78         79         80         81         82         83         84 
  456956.7   723527.6   395900.6   692132.4  6173798.8   936641.2  6561521.0 
        85         86         87         88         89         90         91 
 3007107.9  4707504.1  1821147.0  1274546.0  1539352.9 10076301.8  1887415.3 
        92         93         94         95         96         97         98 
 1941222.6  3696158.0  6802400.4  1055932.4 23101792.2  1334995.9  1869797.5 
        99        100        101        102        103        104        105 
 3712233.4  1116260.1  4223297.1  4854943.6  1385925.9  1748553.8  2053107.4 
       106        107        108        109        110        111        112 
 1458847.1  2051602.9   643613.7  5267349.8  3902378.1  1836245.8  2455677.3 
       113        114        115        116        117        118        119 
 1624723.3  1560690.4   953841.4   710120.9  1658775.2  1321024.4  1312615.0 
       120        121        122        123        124        125        126 
 2743290.7  1054216.7  1320798.9  1262051.7  2844557.5  2947324.2   407556.6 
       127        128        129        130        131        132        133 
  825951.6  1757610.8 17344690.0  1679538.3  2161094.8  5913745.0  1058384.3 
       134        135        136        137        138        139        140 
 7738514.2   561868.8  1386779.3  7276857.5  1834723.0   556354.7  2416013.3 

13 Infos sur le sujet | ROADMAP

\[ Q = f(QCAP, QLAB, QMAT)\\ \]

il y a aussi les infos sur \(C(Q)\)

• Expliquer les différences de profits entre les producteurs ? Regarder du coté des fonctions de profit.

Propriété de la CD => si la fonction de prod est cobb douglas, alors la fonction de coût l’est aussi.

alpha y => mesure des rendements d’échelle…

• Pour la question 7, o nintègre la quantité d’inputs comme variable explicative => fonction de cout de court terme

• Fonction de cout qui intègre que la quantité de capital ne change pas instantanément

• Rendements d’échelle (somme des exposants) => on peut trouver ces rendements d’échelle soit en faisant la fonction de coût, ou la fonction de production. Mais on peut aussi les estimer grace à une fonction de demande

DEUX CHOSES ESSENTIELLES

• Il faut estimer les substitutions entre facteurs
• Les rendements d’échelle

Dans la cobb douglas les substitutions entre facteurs il est constant et c’est 1.

Regarder le \(\prod\)

13.1 Notes sur la translog Cost

On pourrait tt à fait estimer le système d’équations suivant :

Voir aussi la slide 78 sur la fonction \(\ln C\)

\[ \begin{cases} S_1 = \alpha_1 + \sum^3_{i=1} \beta_{1j}\ln p_j + \beta_{1y}\ln y\\ S_2 = \alpha_2 + \sum^3_{i=1} \beta_{2j}\ln p_j + \beta_{2y}\ln y\\ S_3 = \alpha_3 + \sum^3_{i=1} \beta_{3j}\ln p_j + \beta_{3y}\ln y \end{cases} \]

Inconvénients dans la translog et des formes flexibles :

Le nombre de paramètres explose à cause des effets croisés et risque important de collinéarité.

Quand on passe au système au tableau, on a augmenté à 3*140 données (420 observations) et on a un peu moins de paramètres

• Les entreprises les plus grosses sont les plus productives.

done 💅

Les références

Ivaldi, Marc, Norbert Ladoux, Hervé Ossard, et Michel Simioni. 1996. « Comparing Fourier and translog specifications of multiproduct technology: Evidence from an incomplete panel of French farmers ». Journal of applied econometrics 11 (6): 649‑67.

Wickham, Hadley. 2014. « Tidy Data ». Journal of Statistical Software.

Réutilisation